一、数学，调和数列，特点，性质，公式
定义1：自然数的倒数组成的数列,称为调和数列.
定义2：若数列{an}满足1/a（n+1）-1/an=d（n∈N*，d为常数），则称数列{an}调和数列
人们已经研究它几百年了.但是迄今为止没有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(当n很大时):
1+1/2+1/3+......+1/n≈lnn+C(C=0.57722......称作欧拉初始,专为调和级数所用，至今不知是有理数还是无理数)
人们倾向于认为它没有一个简洁的求和公式.
但是,不是因为它是发散的,才没有求和公式.相反的,例如等差数列是发散的,公比的绝对值大于1的等比数列也是发散的,它们都有求和公式.
当n→∞时
1＋1/2＋1/3＋1/4＋
…
＋1/n
这个级数是发散的
简单的说，结果为∞
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用高中知识也是可以证明的，如下：
1/2≥1/2
1/3＋1/4＞1/2
1/5＋1/6＋1/7＋1/8＞1/2
……
1/[2^(k-1)+1]＋1/[2^(k-1)+2]＋…＋1/2^k＞[2^(k-1)](1/2^k)＝1/2
对于任意一个正数a，把a分成有限个1/2
必然能够找到k，使得
1＋1/2＋1/3＋1/4＋
…
＋1/2^k＞a
所以n→∞时，1＋1/2＋1/3＋1/4＋
…
＋1/n→∞
二、数学上的「调和」究竟是什么含义?
数学上的「调和」究竟含义：调和在调和函数、调和级数、调和平均值等中均是同一个意思，就是1/x。
调和级数是各项倒数为等差数列的级数，各项倒数所成的数列（不改变次序）为等差数列。从第2项起，它的每一项是前后相邻两项的调和平均，故名调和级数。
积分判别法
通过将调和级数的和与一个瑕积分作比较可证此级数发散。考虑长方形的排列。每个长方形宽1个单位、高1/n个单位（换句话说，每个长方形的面积都是1/n）。
注意后一个级数每一项对应的分数都小于调和级数中每一项，而且后面级数的括号中的数值和都为1/2，这样的1/2有无穷多个，所以后一个级数是趋向无穷大的，进而调和级数也是发散的。
从更广泛的意义上讲，如果An是全部不为0的等差数列，则1/An就称为调和数列，求和所得即为调和级数，易得，所有调和级数都是发散于无穷的。
