一、三角形四心的含义和性质
重心：三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.该点叫做三角形的重心.
外心：三角形的三边的垂直平分线交于一点.该点叫做三角形的外心.
垂心：三角形的三条高交于一点.该点叫做三角形的垂心.
内心：三角形的三内角平分线交于一点.该点叫做三角形的内心.
旁心：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.该点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.
二、请给出三角形“四心”的定义和性质
1）垂心：三角形三条边上的高相交于一点，这一点叫做三角形的垂心
三角形有且只有一个垂心，锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角
形
垂心在直角顶点，钝角三角形垂心在三角形外。2）旁心：三角形一个内角的平分线与其余两个角的外角平分线的交点，一个三角形有三个旁心，它们到三边所在的直线的距离相等。3）重心：三角形三条中线的交点，重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍，三角形有且只有一个重心。4）外心：三角形三边垂直平分线的交点，外心到三角形三顶点距离相等。5）内心：三角形三个内角平分线的交点。内心到三角形三边的距离相等，三角形有且只有一个内心，在三角形内部。
三、三角形的四心定义及其性质总结
三角形四心。即重心，内心，外心，垂心。
重心:三角形三中线的交点，叫重心。
性质:重心分中线两段的比为2/1。
内心:三角形三内角平分线的交点，叫内心。即三角形内切圆的圆心。
性质:内心到三角形三边的距离相等。
外心:三边垂直平分线交点。即三角形外接圆的圆心。
性质:外心到三个顶点距离相等。
垂心:三高的交点。
(分三种情况:锐角三角形垂心在三角形之内，直角三角形垂心在直角顶点上。
钝角三角形垂心在三角形外)。
四、三角形四心的定义及性质
一、外心.
三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆周角定理.
圆周角定理:
同弧所对圆周角是圆心角的一半.
证明略(分类思想,3种,半径相等)
圆周角推论1:
半圆(弧)和半径所对圆周角是90‵.
90‵圆周角所对弦是直径.
(常用辅助线:已知直径,作其所对圆周角;已知90‵圆周角,作其所对弦,即直径.)
圆周角推论2:
同(等)弧所对圆周角相等.
同(等)圆中,相等的圆周角所对弧相等.
二、重心
三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每
条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.
中线长度公式:在三角形abc中，d为bc上的中点，设bd=dc=n,ad=m,ab=a
ac=b,则有
2（m2+n2)=a2+b2
三、垂心
三角形的三条高线交于一点.三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角
三角形的垂心在三角形外。
四、内心
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.
例：⊙o是△abc的内切圆，△abc是⊙o的一个外切三角形，点o叫做△abc的内心.
张角公式:,设点c在线段ab上,ab外一点p对线段ac、bc的张角分别为γ、β,则sin(γ+β)/pc=sinγ/pb+sinβ/pa.
三角形内角平分线性质定理:三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
五、旁心
与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形的旁心.
例：图中⊙o1、⊙o2、⊙o3都是△abc的旁切圆，点o1、o2、o3叫做△abc的旁心.
三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，这个交点到三角形一边及其他两边延长线的距离相等，就是三角形的旁心.
三角形有三个旁切圆，三个旁心.
重心定理
三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．
上述交点叫做三角形的重心.
外心定理
三角形的三边的垂直平分线交于一点．
这点叫做三角形的外心.
垂心定理
三角形的三条高交于一点．
这点叫做三角形的垂心.
内心定理
三角形的三内角平分线交于一点．
这点叫做三角形的内心.
旁心定理
三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点．
这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心．
三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．它们都是三角形的重要相关点．
五、三角形四心及其性质是什么？
重心：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。
外心：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。
垂心：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。
内心：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。
旁心：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。
扩展资料：
已知：△ABC中，AB,AC的垂直平分线DO,EO相交于点O
求证：O点在BC的垂直平分线上
证明：连结AO,BO,CO，∵DO垂直平分AB，∴AO=BO
∵EO垂直平分AC，∴AO=CO
∴BO=CO
即O点在BC的垂直平分线上
